Question

已知{a_n}是正数组成的数列，a₁＝1，且点(，a_n＋1)( n ∈N^*)在函数y＝x²＋1的图象上．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)若数列 满足b₁＝1，，求证：．

Answer 1

(1); (2) 证明过程见试题解析．

试题分析：(1)将点的坐标代入函数可得a_n＋1－a_n＝1，知是以1为公差，1为首项的等差数列，可得通项公式；(2)由所给条件，可得，对n分别取值后，用累加法得出的通项公式，则，命题可证．
解：(1) 由已知得a_n＋1＝a_n＋1，则a_n＋1－a_n＝1，又a₁＝1，
所以数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列,
故a_n＝1＋(n－1)1＝n．                                4分
(2)由(1)知，a_n＝n，从而－＝2ⁿ．
＝(－)＋(－)＋ ＋(b₂－b₁)＋b₁ ,
＝2^n－1＋2^n－2＋ ＋2＋1＝＝－1．
因为＝(2ⁿ－1)(2^n＋2－1)－(2^n＋1－1)²      
＝(2^2n＋2－2^n＋2－2ⁿ＋1)－(2^2n＋2－2·2^n＋1＋1),
＝<0，
所以．                             12分