Question

(本小题满分12分)有对称中心的曲线叫有心曲线，如圆、椭圆、双曲线都是有心曲线，过有心曲线的中心的弦叫有心曲线的直径，有心曲线有许多类似的优美性质。

（1）定理：过圆上异于直径两端点的任意一点与直径两端点的连线斜率之积为定值．试写出该定理在椭圆中的类似结论；

（2）定理：圆的两条互相垂直的直径称为共轭直径，且这两条共轭直径与圆相交得到的四边形的面积为定值．在椭圆中两条斜率之积为的直径称为共轭直径，试探究椭圆中两条共轭直径与椭圆相交得到的四边形的面积的类似结论，并加以证明．

Answer 1

（2）依题意椭圆中有类似定理：

椭圆的两条直径的斜率之积为时，称为共轭直径．特别地，当一条直径的斜率不存在，另一条直径的斜率为零时也称为共轭直径．两条共轭直径与椭圆相交得到的四边形的面积为定值2ab．    ………………………………………………………………8分

证明：①当两条共轭直径为椭圆的长短轴时，对应的四边形面积为2ab．……… 9分

②一般地，可设直径AC的斜率为k，则共轭直径BD的斜率为（k≠0），

设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），

由  ，

，

同理可得 ，

D到直线AC的距离为，

∴S_{四边形ABCD}＝|AC|·d＝为定值. ………12分