Question

以下三个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，K为非零常数，若|PA|-|PB|=K，则动点P的轨迹是双曲线．
②方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
③双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y²=1有相同的焦点．
④已知抛物线y²=2px，以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切
其中真命题为

②③④

（写出所以真命题的序号）

Answer 1

分析：根据双曲线的定义，可判断①的真假；解方程求出方程的两根，根据椭圆和双曲线的简单性质，可判断②的真假；根据已知中双曲线和椭圆的标准方程，求出它们的焦点坐标，可判断③的真假；设P为AB中点，A、B、P在准线l上射影分别为M、N、Q，根据抛物线的定义，可知AP+BP=AM+BN，从而 PQ=

1

2

AB，所以以AB为直径作圆则此圆与准线l相切．

解答：解：A、B为两个定点，K为非零常数，若|PA|-|PB|=K，当K=|AB|时，动点P的轨迹是两条射线，故①错误；
方程2x²-5x+2=0的两根为

1

2

和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故②正确；
双曲线

x2

25

-

y2

9

=1的焦点坐标为（±

34

，0），椭圆

x2

35

-y²=1的焦点坐标为（±

34

，0），故③正确；
设AB为过抛物线焦点F的弦，P为AB中点，A、B、P在准线l上射影分别为M、N、Q，
∵AP+BP=AM+BN
∴PQ=

1

2

AB，
∴以AB为直径作圆则此圆与准线l相切，故④正确
故正确的命题有：②③④
故答案为：②③④

点评：本题④以抛物线为载体，考查抛物线过焦点弦的性质，关键是正确运用抛物线的定义，合理转化，综合性强．