Question

已知函数f（x）=x²+bx+c，且f（1）=0．
（1）若函数f（x）是偶函数，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在区间[-1，3]上的最大值和最小值；
（3）要使函数f（x）在区间[-1，3]上单调递增，求b的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵函数为偶函数，
∴f（-x）=f（x），x∈R恒成立，
即：x²-bx+c=x²+bx+c
∴b=0
又∵f（1）=0．
∴c=-1
∴f（x）=x²-1；
（2）由（1）易知其对称轴为：x=0
∴当x=0时，?f（x）_min=-1，?
当x=3时，f（x）_max=8；
（3）∵函数f（x）在区间[-1，3]上单调递增
∴，
∴b≥2
即b≥2时，f（x）在区间[-1，3]上是递增的．
分析：（1）由函数为偶函数，则有f（-x）=f（x）恒成立，再用待定系数法求解．
（2）由（1）易知其对称轴和开口方向，明确其单调性，再求函数最值．
（3）先用配方法将函数变形，求出其对称轴，由“在区间[-1，3]上单调递增”则有，再求解即可．
点评：本题主要考查二次函数解析式，单调性与最值的求法，明确对称轴和开口方向是解题的关键．