Question

已知函数y=|x|（x-4）
（1）将函数y=|x|（x-4）写出分段函数的形式，并画出图象
（2）利用图象回答：当k为何值时，方程|x|•（x-4）=k有一解？有两解？有三解？

Answer 1

分析：（1）要根据绝对值的定义，利用零点分段法，分当x＜0时和当x≥0时两种情况，化简函数的解析式，最后可将函数y=|x|（x-4）写出分段函数的形式，进而根据分段函数图象分段画的原则，结合二次函数的图象和性质，可得答案．
（2）根据（1）中函数的图象，结合函数的极大值为0，极小值为-4，可得方程|x|•（x-4）=k有一解，有两解和有三解时，k的取值范围．

解答：解：（1）当x＜0时，y=|x|（x-4）=-x（x-4）
当x≥0时，y=|x|（x-4）=x（x-4）
综上y=

-x(x-4)，x＜0 x(x-4)，x≥0

其函数图象如图所示：
（2）由（1）中函数的图象可得：
当k＜-4或k＞0时，方程|x|•（x-4）=k有一解
当k=-4或k=0时，方程|x|•（x-4）=k有两解
当-4＜k＜0时，方程|x|•（x-4）=k有三解

点评：本题考查的知识点是分段函数的解析式及其图象的作法，函数的零点，难度不大，属于基础题．