Question

【题目】设l为曲线C：y= 在点（1，0）处的切线．
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵y=
∴
∴l的斜率k=y′|x=1=1
∴l的方程为y=x﹣1
（Ⅱ）证明：令f（x）=x（x﹣1）﹣lnx，（x＞0）
曲线C在直线l的下方，即f（x）=x（x﹣1）﹣lnx＞0，
则f′（x）=2x﹣1﹣ =
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又f（1）=0
∴x∈（0，1）时，f（x）＞0，即 ＜x﹣1
x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，即 ＜x﹣1
即除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方
【解析】（Ⅰ）求出切点处切线斜率，代入代入点斜式方程，可以求解；（Ⅱ）利用导数分析函数的单调性，进而分析出函数图象的形状，可得结论．