Question

已知函数f（x）是R上的偶函数，且满足f（x+1）=-f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2-x，则f（-2010.5）的值为（　　）

A．0.5

B．-1.5

C．1.5

D．1

Answer 1

分析：先根据题目条件求出函数的周期，然后通过周期性和奇偶性将-2010.5调整到[0，1]内，即可求得．

解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数且f（x+1）+f（x）=0①
∴f（-x+1）+f（-x）=0，
即f（x-1）+f（x）=0②
由①②，得f（x+1）=f（x-1），
∴f（x+2）=f（x）
∴f（x）的周期T=2，且函数f（x）为偶函数，
∴f（-2010.5）=f（-2010-0.5）=f（-0.5）=f（0.5）=2-0.5=1.5．
故选C．

点评：本题是函数性质的综合应用，这一类型的题通常会涉及到周期性、单调性、奇偶性、对称性等．其中周期性的考查通常比较隐蔽，要注意挖掘题中的隐含条件推出函数f（x）的周期，属于基础题．