Question

已知二次函数f（x）=ax²-4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），求

1

c+1

+

9

a+9

的最大值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：首先根据函数的值域求出a和c的关系，进一步对关系式进行变换，再利用均值不等式求出结果．

解答： 解：∵二次函数f(x)=ax2-4x+

c

(x∈R)的值域为[0，+∞）
∴a＞0，且（-4）²-4ac=0，即c=

4

a

∴

1

c+1

+

9

a+9

=

1

4 a +1

+

9

a+9

=

a

a+4

+

9

a+9

=1-

4

a+4

+

9

a+9

=1+

5a

a2+13a+36

=1+

5

a+ 36 a +13

≤1+

5

2 a• 36 a +13

=

6

5

当且仅当a=6时等号成立，故

1

c+1

+

9

a+9

的最大值为

6

5

点评：本题考查的知识要点：二次函数的应用，函数关系式的恒等变换，均值不等式的应用，属于基础题型．