Question

已知函数，.
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）当时，若不等式在上恒成立，求的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）有极大值为;（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）首先明确函数的定义域，然后利用求导的方法研究函数的单调性，进而确定函数的极值；（Ⅱ）利用转化思想将原不等式转化为在上恒成立，然后借助构造函数求解函数的最大值进而探求的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为。                   1分
，令得                       3分
当为增函数.                      4分
当为减函数，                    5分
可知有极大值为                        6分
（Ⅱ）由于,所以不等式在区间上恒成立，即在上恒成立，
设
由（Ⅰ）知，在处取得最大值，∴              12分
【参考题】（Ⅲ）已知且，求证：.
∵，由上可知在上单调递增，
∴ ，即 ①，
同理 ②
两式相加得，∴