Question

在△ABC中，两个定点A（-3，0）B（3，0），△ABC的垂心H（三角形三条高线的交点）是AB边上高线CD的中点．
（1）求动点C的轨迹方程；
（2）斜率为2的直线l交动点C的轨迹于P、Q两点，求△OPQ面积的最大值（O是坐标原点）．

Answer 1

分析：（1）设出动点C的坐标，利用AH⊥BC，k_AH•k_BC=-1即可求解动点C的轨迹方程；
（2）通过斜率为2的直线l，设出直线方程，利用直线交动点C的轨迹于P、Q两点，联立直线与椭圆的方程组成方程组，求出弦长，利用点到直线的距离，表示△OPQ面积，利用基本不等式求出面积的最大值．

解答：解：（1）设动点C（x，y）则D（x，0）．因为H是CD的中点，故H(x，

y

2

)
因为AH⊥BC所以k_AH•k_BC=-1故

y 2

x+3

•

y

x-3

=-1
整理得动点C的轨迹方程

x2

9

+

y2

18

=1(y≠0)
（2）设l：y=2x+m并代入

x2

9

+

y2

18

=1(y≠0)得6x²+4mx+m²-18=0，
∵△=（4m）²-4×6×（m²-18）＞0
∴54-m²＞0  
 即m∈(-3

6

，3

6

)，
 |PQ|=

(1+22)[(- 4m 6 )2-4• m2-18 6 ]

=

10

3

54-m2

又原点O到直线l的距离为d=

|m|

5

∴S_△OPQ=

1

2

×

10

3

×

54-m2

×

|m|

5

=

2

6

(54-m2)m2

≤

2

6

×

54-m2+m2

2

=

9 2

2

          
当且仅当54-m²=m²即m=±3

3

时等号成立，
故△OPQ面积的最大值为

9 2

2

．

点评：本题考查曲线轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的关系，弦长公式的应用，点到直线的距离，三角形的面积公式与基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想的应用，注意轨迹方程中不满足题意的点需要去掉．