Question

已知函数g（x）=

3

4

-

1

2

sinxcos-

3

2

sin2x的图象按向量

m

=（-

π

4

，

1

2

）平移得到函数f（x）=acos²（x+

π

3

）+b的图象．
（1）求实数a、b的值；
（2）设函数φ（x）=g（x）-

3

f（x），x∈[0，

π

2

]，求函数φ（x）的单调递增区间和最值．

Answer 1

分析：（1）由题意按向量

m

平移g（x），确定平移后的解析式，与函数f（x）=acos²（x+

π

3

）+b的图象相同，比较系数，求实数a、b的值；
（2）化简函数φ（x）=g（x）-

3

f（x）的表达式，为一个角的一个三角函数的形式，求函数φ（x）的单调递增区间，根据x∈[0，

π

2

]，求出它的最值．

解答：解：（1）依题意按向量

m

平移g（x）得f（x）-

1

2

=

1

2

sin[2（x+

π

4

）+

2π

3

]
得f（x）=-

1

2

sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
又f（x）=acos²（x+

π

3

）+b=-

π

2

sin（2x+

π

6

）+

π

2

+b，
比较得a=1，b=0；
（2）φ（x）=g（x）-

3

f（x）
=

1

2

sin（2x+

2π

3

）-

3

2

cos（2x+

2π

3

）-

3

2

=sin（2x+

π

3

）-

3

2

，
∴φ（x）的单调增区间为[0，

π

6

]，值域为[-

3

，1]

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的单调性，三角函数的最值，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．