Question

已知：等差数列{a_n}中，a₃=5，a₅=9．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=2^a_n，S_n是数列{b_n}的前n项和，试求满足S_n＞2015的最小正整数n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，通过a₃=5，a₅=9，求出d，得到通项公式．
（Ⅱ）求出bn=22n-1，说明数列{b_n}是首项b₁=2，公比q=4的等比数列，求出S_n，通过S_n＞2015，列出不等式，然后求出最小正整数n的值．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
因为a₃=5，a₅=9，
所以a₅-a₃=2d=9-5，d=2，
又由a₃=a₁+2d=5，得a₁=1．
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n-1． 
（Ⅱ）由bn=2an，得bn=22n-1，
因为

bn+1

bn

=

22n+1

22n-1

=4，所以数列{b_n}是首项b₁=2，公比q=4的等比数列．
故Sn=

2×(1-4n)

1-4

=

2

3

•(4n-1)．
由

2

3

•(4n-1)＞2015，可得4n＞

6047

2

=3023.5．
因为n∈N^*，4⁵=1024，4⁶=4096，
所以4⁵＜3023.5＜4⁶，即S₅＜2015＜S₆，
注意到Sn=

2

3

•(4n-1)是单调递增函数，
所以满足S_n＞2015的最小正整数n的值为6．

点评：本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力与推理论证能力，考查函数与方程思想等．