Question

在袋中装有15个小球，其中有n个红球，6个蓝球，5个黄球，其余的为白球．已知从袋中取出3个都是相同颜色的彩色球（无白球）的概率为

31

455

．求：
（1）袋中有多少个红球；
（2）从袋中随机取出3个球，若取得黄球得1分，取得蓝球扣1分，取得红球或白球不得分也不扣分，求得正分的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设可得

C 3 n + C 3 6 + C 3 5

C 3 15

=

31

455

，即

C

3 n

=1，由此求得n的值．
（Ⅱ）设取球得正分为事件A，则A包含有三种情况：①取球得正1分，记为事件A₁；②取球得正2分，记为事件A₂；③取球得正3分，记为事件A₃．
分别求得P（A₁）、P（A₂）、P（A₃）的值，相加即得所求．

解答：解：（Ⅰ）由题设可得

C 3 n + C 3 6 + C 3 5

C 3 15

=

31

455

．…3′
即

C

3 n

=1，∴n=3，故袋中有3个红球．…6′
（Ⅱ）设取球得正分为事件A，则A包含有三种情况：①取球得正1分，记为事件A₁；②取球得正2分，记为事件A₂；③取球得正3分，记为事件A₃．…8′
则P（A）=P（A₁）+P（A₂）+P（A₃）．
而P(A1)=

C 1 5 • C 2 4 + C 2 5 • C 1 6

C 3 15

=

18

91

； P(A2)=

C 2 5 • C 1 4

C 3 15

=

8

91

； P(A3)=

C 3 5

C 3 15

=

2

91

．
故P(A)=

18

91

+

8

91

+

2

91

=

28

91

．…12′．

点评：本题主要考查互斥事件的概率加法公式的应用，属于基础题．