Question

设命题p：幂函数f(x)=xa2-2a-3在x∈（0，+∞）上单调递减；命题q：函数g（x）=x²+（2a-1）x+1在(-∞，

1

2

]上是减函数．若p和q有且只有一个为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先求出命题p，q成立的等价条件，然后利用p和q有且只有一个为真，求实数a的取值范围．

解答：解：要使幂函数f(x)=xa2-2a-3在x∈（0，+∞）上单调递减，则a²-2a-3＜0，解得-1＜a＜3，
∴p：a∈（-1，3）．
函数g（x）=x²+（2a-1）x+1在（-∞，

1

2

]上是减函数，
∴

1-2a

2

≥

1

2

，即a≤0．
∴q：a∈（-∞，0]．
当p真q假时，a∈（-1，3）∩（0，+∞）=（0，3）；
当p假q真时，a∈（-∞，-1]∪[3，+∞）∩（-∞，0]=（-∞，-1]．
综上，a的取值范围为（-∞，-1]∪（0，3）．

点评：本题主要考查命题的真假判断和应用，利用函数的性质将命题进行等价化简是解决本题的关键．