Question

【题目】设{an}是等差数列，数列{an}的前n项和为Sn ， {bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b2=7，S2+b2=6 （Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{anbn}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比q＞0，∵a1=b1=1，a3+b2=7，S2+b2=6， ∴a3﹣（1+a2）=1，∴d=2，∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．b2=7﹣a3=7﹣5=2．∴q=2，bn=2n﹣1 ．
（Ⅱ）anbn=（2n﹣1）2n﹣1 ．
∴数列{anbn}的前n项和Sn=1+3×2+5×22+…+（2n﹣1）×2n﹣1 ，
2Sn=2+3×22+…+（2n﹣3）×2n﹣1+（2n﹣1）×2n ，
∴﹣Sn=1+2×（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）×2n=1+2× ﹣（2n﹣1）×2n=（3﹣2n）×2n﹣3，
∴Sn=（2n﹣3）×2n+3
【解析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（II）anbn=（2n﹣1）2n﹣1 ． 利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．