Question

已知圆M的方程为（x-2）²+y²=1，直线l的方程为y=2x，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；
（2）求的最小值；
（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题可知MP=2，M（2，0），由此可求点P的坐标；
（2）利用向量的数量积公式，计算，结合切线长公式，利用配方法，即可求得最小值；
（3）求得经过A，P，M三点的圆的方程，利用圆系方程，即可得到必过定点．
解答：（1）解：设P（m，2m），由题可知MP=2，M（2，0），所以（2m）²+（m-2）²=4，解之得．
故所求点P的坐标为P（0，0）或（，）．  …（4分）
（2）解：设P（m，2m），则．
又，，
∴．…（7分）
又，
∴，
故的最小值．                                  …（10分）
（3）证明：设P（m，2m），MP的中点，
因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，
故其方程为，
化简得x²+y²-2x+m（-x-2y+2）=0，…（13分）
故解得或
所以经过A，P，M三点的圆必过定点（2，0）和．         …（16分）
点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．