Question

13．已知f（x）=（1+x）^m+（1+3x）ⁿ （m、n∈N^*）的展开式中x的系数为11．
（1）求x²的系数的最小值；
（2）当x²的系数取得最小值时，求f（x）展开式中x的奇次幂项的系数之和．

Answer 1

分析 （1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的x的系数，列出方程得到m，n的关系；利用二项展开式的通项公式求出x²的系数，将m，n的关系代入得到关于m的二次函数，配方求出最小值
（2）通过对x分别赋值1，-1，两式子相加求出展开式中x的奇次幂项的系数之和．

解答 解：（1）由题意得：${C}_{m}^{1}+3{C}_{n}^{1}$=11，即：m+3n=11．-----------------------（2分）
x²的系数为：${C}_{m}^{2}+{3}^{2}{C}_{n}^{2}$=$\frac{m（m-1）}{2}+\frac{9n（n-1）}{2}$=9（n-2）²+19-------------------（4分）
当n=2时，x²的系数的最小值为19，此时m=5---------------------（6分）
（2）由（1）可知：m=5，n=2，则f（x）=（1+x）⁵+（1+3x）²
设f（x）的展开式为f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅x⁵----------------------（8分）
令x=1，则f（1）=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅
令x=-1，则f（-1）=a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅-------------------------------------（10分）
则a₁+a₃+a₅=$\frac{f（1）-f（-1）}{2}$=22，所求系数之和为22--------------------------------（12分）

点评 本题考查利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特殊项问题；利用赋值法求二项展开式的系数和问题．