Question

已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b²+c²=a²+

3

bc，求：
（1）2sinBcosC-sin（B-C）的值；
（2）若a=2，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）△ABC中，由条件利用余弦定理求得cosA的值，可得A=30°．再利用两角和差的正弦公式求得2sinBcosC-sin（B-C）的值．
（2）由a=2，A=30°，利用正弦定理求得△ABC周长为 a+b+c=2+4sinB+4sinC，再利用和差化积公式化为8sin75°cos

B-C

2

，从而求得△ABC周长a+b+c的最大值．

解答： 解：（1）△ABC中，由b²+c²=a²+

3

bc，可得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

3

2

，∴A=30°．
∴2sinBcosC-sin（B-C）=2sinBcosC-sinBcosC+cosBsinC
=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA=sin30°=

1

2

．
（2）∵a=2，A=30°，由正弦定理可得

b

sinB

=

c

sinC

=

a

sinA

=

2

sin30°

=4，
故△ABC周长为 a+b+c=2+4sinB+4sinC=2+4×2sin

B+C

2

cos

B-C

2

=2+8sin75°cos

B-C

2

．
故当B=C时，8sin75°cos

B-C

2

 取得最大值为8sin75°=8sin（45°+30°）
=8（sin45°cos30°+cos45°sin30°）=2（

6

+

2

），
△ABC周长为 a+b+c取得最大值为 2+2（

6

+

2

）．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，两角和差的三角公式，属于基础题．