Question

将圆周四等分，A是其中的一个分点，规定动点P在四个分点上按逆时针方向前进．现掷一个写有数字1，2，3，4的质地均匀的正四面体，动点P从点A出发，按照正四面体底面上所投掷的点数前进（数字为n就前进n步），动点P在转一周之前将继续投掷，转一周或超过一周则停止投掷．
（1）求点P恰好返回A点的概率；
（2）在动点P转一周恰好返回A点的所有结果中，用随机变量X来表示动点P返回A点时投掷正四面体的次数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

（1）投掷一次正四面体，底面上每个数字的出现都是等可能的，概率为

1

4

，则：
①若投掷一次能返回A点，则底面数字应为4，此时概率为P₁=

1

4

；
②若投掷两次能返回A点，则底面数字一次为（1，3），（3，1），（2，2）三种结果，其概率为P₂=（

1

4

）2×3=

3

16

；
③若投三次，则底面数字一次为（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）三种结果，其概率为P₃=（

1

4

）³×3=

3

64

；
④若投四次，则底面数字为（1，1，1，1），其概率为P₄=（

1

4

）⁴=

1

256

；
则能返回A点的概率为：P=P₁+P₂+P₃+P₄=

125

256

；
（2）能返回A点的所有结果共有（1）中所列8种，则：
P（X=1）=

1

8

，P（X=2）=

3

8

，P（X=3）=

3

8

，P（X=4）=

1

8

其分布列为：

X	1	2	3	4
P	1 8	3 8	3 8	1 8

所以，期望E（X）=1×

1

8

+2×

3

8

+3×

3

8

+4×

1

8

=

5

2

（次）