Question

已知函数f（x）=

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x³+ax²-bx（a，b∈R），若在y=f（x）图象上的点（1，-

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）处的切线斜率为-4，
（Ⅰ） 求a，b的值．
（Ⅱ） 求y=f（x）的极大、极小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求f（x）的导函数f′（x），由点（1，-

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）在f（x）的图象上，且该点处的切线斜率为-4，可得a、b的值；
（Ⅱ）由f（x）的导函数f′（x）=0，可得f′（x）＞0或＜0时与f（x）增减关系，从而求得f（x）的极大值与极小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

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x³+ax²-bx（a，b∈R），∴f′（x）=x²+2ax-b；
又∵y=f（x）图象上的点（1，-

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）处的切线斜率为-4，∴f′（1）=-4，即1+2a-b=-4①；
∵点（1，-

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）在f（x）图象上，∴

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+a-b=-

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，即a-b+4=0②；
由①、②解得

a=-1 b=3

；
（Ⅱ）由（1）得f（x）=

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x³-x²-3x，∴f′（x）=x²-2x-3=（x-3）（x+1）；
令f′（x）=0，解得x=-1或x=3；列表如下，

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴y=f（x）的极大值为f（x）_极大值=f（-1）=

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，极小值为f（x）_极小值=f（3）=-9．

点评：本题考查了利用导数求曲线上某点切线方程的斜率与研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的极值问题，是中档题．