Question

一非零向量列{a_n}满足a₁=(x₁，y₁)，a_n=(x_n，y_n)=(x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1)(n≥2)，

(1)证明：{|a_n|}是等比数列；

(2)求a_n-1与a_n的夹角θ_n(n≥2)，若b_n=2nθ_n-1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；

(3)设a₁=(1，2)，把a₁，a₂，…，a_n，…中所有与a₁共线的向量按照原来的顺序排成一列，记为b₁，b₂，…，b_n，…，令=b₁+b₂+b₃+…+b_n(O为坐标原点)，

    求点列{B_n}的极限点B的坐标(注：若点B_n的坐标为(t_n，s_n)且t_n=t，s_n=s，则点B(t，s)为点列{B_n}的极限点).

Answer 1

解：(1)|a_n|

=

=|a_n-1|对任意n≥2恒成立，即|a_n|=|a_n-1|，故{|a_n|}是首项为|a₁|，公比为的等比数列；

(2)a_n-1·a_n=(x_n-1，y_n-1)·(x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1)=(x_n-1²+y_n-1²)=|a_n-1|²，cos〈a_n-1，a_n〉=，将|a_n|=|a_n-1|，a_n-1·a_n=|a_n-1|²代入上式可得cos〈a_n-1，a_n〉=，所以a_n-1与a_n的夹角为θ_n=；b_n=2nθ_n-1=-1，则{b_n}为等差数列，S_n=×n=(1+n)n-n=(n²+n)-n.

(3)∵a₁=(x₁，y₁)，a_n=(x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1)，∴a₂=(x₁-y₁，x₁+y₁)，

a₃=(-y₁，x₁)，a₄=(-x₁-y₁，x₁-y₁)，a₅=-(x₁·y₁)，类推得a₁∥a₅∥a₉…，所以b₁=a₁，b₂=a₅，…b_n=a_4n-3(也可用数学归纳法证明)，b_n=a_4n-3=(-14)^n-1(x₁·y₁)，设=(t_n，s_n)，则t_n=［1+(-)+(-)²+…+(-)^n-1］x₁=［1-(-)ⁿ］，t_n=，S_n=［1+(-)+(-)²+…+(-)^n-1］y₁=［1-(-)ⁿ］，s_n=，所以，极限点B的坐标为(，).