Question

二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）＞2x+m在区间，[-1，1]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）由f（0）=1，可设f（x）=ax²+bx+1（a≠0）
∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2ax+a+b
由题意得，，解得；
故f（x）=x²-x+1
（2）由题意得，x²-x+1＞2x+m
即x²-3x+1＞m 对x∈[-1，1]恒成立，
令g（x）=x²-3x+1，又g（x）在[-1，1]上递减，故g（x）_min=g（1）=-1
故m＜-1
分析：（1）由f（0）=1，可设f（x）=ax²+bx+1（a≠0），代入f（x+1）-f（x）=2x，根据系数对应相等可求a，b进而可求f（x）
（2）由题意得，x²-x+1＞2x+m，即x²-3x+1＞m 对x∈[-1，1]恒成立，令g（x）=x²-3x+1，根据g（x）在[-1，1]上的单调性可求g（x）_min，可求m的范围
点评：本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的函数解析式，及函数的恒成立与函数的最值求解的相互转化，主要单调性在函数的最值求解中的应用．