Question

已知斜三棱柱ABC-A′B′C′每条侧棱长为3，底面为边长2的正三角形，侧面BCC′B′垂直于底面，且CC′=BC′．
（1）求证AC′⊥BC；
（2）求四棱锥C′-ABB′A′的体积．

Answer 1

分析：（1）取BC中点D，连接AD、C'D，利用等腰三角形“三线合一”，可证出AD⊥BC且C'D⊥BC，结合线面垂直的判定定理，得BC⊥面ADC'，从而得到BC⊥AC'．
（2）根据面面垂直的性质，得到C'D⊥平面ABC，从而得到C'D是三棱柱ABC-A'B'C'和三棱锥C'-ABC的高，在Rt△C'D中，算出C'D的长，可得三棱柱ABC-A'B'C'和三棱锥C'-ABC的体积，将两体积相减可得四棱锥C′-ABB′A′的体积．

解答：解：（1）取BC中点D，连接AD、C'D，
∵正三角形ABC中，AD是中线，∴AD⊥BC，
又∵△BCC'中，CC′=BC′，CD=DB
∴C'D⊥BC，
∵AD、C'D是平面ADC'内的相交直线，
∴BC⊥面ADC'
∵AC'?面ADC'，∴BC⊥AC'…（7分）
（2）∵平面BCC′B′⊥平面ABC，平面BCC′B′∩平面ABC=BC，C'D⊥BC
∴C'D⊥平面ABC，
Rt△C'D中，CD=1，CC'=3，∴C'D=

C′C2-CD2

=2

2

，…（10分）
∴三棱柱ABC-A'B'C'的体积为V₁=S△ABC•C'D=

3

4

×2²×2

2

=2

6

三棱锥C'-ABC的体积V₂=

1

3

V₁=

2 6

3

因此，四棱锥C′-ABB′A′的体积V=V₁-V₂=2

6

-

2 6

3

=

4 6

3

…（14分）

点评：本题在三棱柱中证明线面垂直，并求四棱锥的体积，着重考查了线面垂直的判定与性质和棱体、锥体的体积公式等知识，属于中档题．