Question

（理）一个数列中的数均为奇数时，称之为“奇数数列”． 我们给定以下法则来构造一个奇数数列{a_n}，对于任意正整数n，当n为奇数时，a_n=n；当n为偶数时，a_n=．
（1）试写出该数列的前6 项；
（2）研究发现，该数列中的每一个奇数都会重复出现，那么第5个5是该数列的第几项？
（3）求该数列的前2ⁿ项的和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意可知an=，（n∈N^*），由此得该数列的前6项．
（2）借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定．又通过前面的项发现项的值为5时，下角码是首项为5，公比为2的等比数列．即可求出第5个5在该数列中所占的位置．
（3）由条件可得 T_n =[1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）]+（a₂ +a₄ +a₆+…+a）=[1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）]+[1+3+5+7+…+（2^n-1-1）]+[1+3+5+7+…+（2^n-2-1）]+…+（1+3）+1，根据1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）=4^n-1，可得 T_n =4^n-1+4^n-2+4^n-3+…+4¹+4+1，根据等比数列前n项和公式求得结果．
解答：解：：（1）根据题意可知an=，（n∈N^*）
由此得：该数列的前6项分别为1，1，3，1，5，3．
（2）这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…
仔细观察发现a₅=5，a₁₀=5，a₂₀=5，a₄₀=5…
即项的值为5时，下角码是首项为5，公比为2的等比数列．
所以第5个5是该数列的第5×2^5-1=80项．
第5个5是该数列的第80项．
（3）由题意可得
T_n =[1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）]+（a₂ +a₄ +a₆+…+a₂ⁿ）
=[1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）]+（a₁+a₂+a₃+…+a₂^n-1）
=[1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）]+[1+3+5+7+…+（a^2n-1-1）]+（a₂ +a₄ +a₆+…+a）
…
=[1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）]+[1+3+5+7+…+（2^n-1-1）]+[1+3+5+7+…+（2^n-2-1）]+…+（1+3）+1．
由于1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）==（2^n-1）²=4^n-1，
故 T_n =4^n-1+4^n-2+4^n-3+…+4¹+4+1=+1=．
点评：本题主要考查了数列递推公式应用，同时考查了等比数列的通项公式，等比数列前n项和公式求，解题时要认真审题，仔细观察规律，避免错误，属于难题．