Question

已知圆x²+y²=8内有一点P₀（-1，2），AB为过点P₀且倾斜角为α的弦，
（1）当α=135°时，求弦AB的长；
（2）当弦AB被P₀平分时，圆M经过点C（3，0）且与直线AB相切于点P₀，求圆M的标准方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）当α=135°时，求出直线方程，利用直线和圆相交时的弦长公式即可求弦AB的长；
（2）根据直线和圆相切的位置关系即可得到结论．

解答： 解：（1）由题意：圆心O（0，0），r=2

2

，k=-1，则直线AB：y=-x+1；
圆心到直线AB的距离d=

2

2

，弦|AB|=2

r2-d2

=

30

，
（2）由题意，弦AB被P₀平分，则OP₀⊥AB，
∵圆M经过点C且与直线AB相切于点P₀
∴圆M的圆心M为线段CP₀的中垂线与直线OP₀的交点，
∵P₀（-1，2），C（3，0），
∴直线OP₀：y=-2x，CP₀的斜率k=-

1

2

，
线段CP₀的中点为（1，1），
∴CP₀的中垂线方程为y=2x-1，
由

y=-2x y=2x-1

，解得

x= 1 4 y=- 1 2

，即M（

1

4

，-

1

2

），
半径R=|MP₀|=

5 5

4

，
故圆M的标准方程为（x-

1

4

）²+（y+

1

2

）²=

125

16

．

点评：本题主要考查圆的标准方程的求解以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算你来了．