Question

【题目】已知二次函数f（x）对任意的x都有f（x+2）﹣f（x）=﹣4x+4，且f（0）=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=f（x）+m，（m∈R）． ①若存在实数a，b（a＜b），使得g（x）在区间[a，b]上为单调函数，且g（x）取值范围也为[a，b]，求m的取值范围；
②若函数g（x）的零点都是函数h（x）=f（f（x））+m的零点，求h（x）的所有零点．

Answer 1

【答案】
（1）解：设二次函数f（x）的解析式为f（x）=ax2+bx+c，

则f（x+2）﹣f（x）=a（x+2）2+b（x+2）+c﹣（ax2+bx+c）=4ax+4a+2b

由f（x+2）﹣f（x）=﹣4x+4得（4a+4）x+4a+2b﹣4=0恒成立，又f（0）=0

所以 ，所以 ，所以f（x）=﹣x2+4x

（2）解：g（x）=﹣x2+4x+m，对称轴x=2，g（x）在区间[a，b]上单调，所以b≤2或a≥2

①1°当b≤2时，g（x）在区间[a，b]上单调增，所以 ，即a，b为g（x）=x的两个根，

所以只要g（x）=x有小于等于2两个不相等的实根即可，

所以x2﹣3x﹣m=0要满足 ，得

2°当a≥2时，g（x）在区间[a，b]上单调减，所以 ，即

两式相减得（b﹣a）（a+b﹣5）=0，因为b＞a，所以a+b﹣5=0，

所以m=a2﹣5a+5， ，得

综上，m的取值范围为

②（法一）设x0为g（x）的零点，则 ，即 ，

即﹣m2﹣4m+m=0，得m=0或m=﹣3

1°当m=0时，h（x）=﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）=﹣x（x﹣4）（x2﹣4x+4）

所以h（x）所有零点为0，2，4

2°当m=﹣3时，h（x）=﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）﹣3=﹣（﹣x2+4x﹣3）（﹣x2+4x﹣1）

（因为必有因式﹣x2+4x﹣3，所以容易分解因式）

由﹣x2+4x﹣3=0和﹣x2+4x﹣1=0得 ，

所以h（x）所有零点为

（法二）函数g（x）的零点都是函数h（x）的零点，

所以﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）+m中必有因式﹣x2+4x+m，

所以可设：﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）+m=﹣（﹣x2+4x+m）（﹣x2+sx+t）

展开对应系数相等得 或 （下同法一）．

【解析】（1）设二次函数f（x）的解析式为f（x）=ax2+bx+c，利用待定系数法求解即可．（2）g（x）=﹣x2+4x+m，对称轴x=2，g（x）在区间[a，b]上单调，b≤2或a≥2，①1°当b≤2时，2°当a≥2时，列出不等式组，求解m的取值范围为 ；②（法一）设x0为g（x）的零点，则 ，求出m=0或m=﹣3，1°当m=0时，求出h（x）所有零点为0，2，4；2°当m=﹣3时，求出h（x）所有零点为 ；

（法二）函数g（x）的零点都是函数h（x）的零点，﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）+m=﹣（﹣x2+4x+m）（﹣x2+sx+t），展开对应系数相等求解即可．

【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的性质(增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小)．