Question

【题目】已知函数，是常数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程，并证明对任意，切线经过定点；

（Ⅱ）当时，设，是的两个正的零点，求证：．

Answer 1

【答案】(1) 切线过定点 (2)见解析

【解析】【试题分析】(I)对函数求导,代入求得斜率,利用点斜式写出切线方程并化简,由此求得直线过定点.(II)当时,利用二分法可判断函数在区间内有零点.利用导数可判断函数在区间内, 有唯一零点,再根据函数的单调性可证得.

【试题解析】

（Ⅰ）

，所求切线方程为

，即

切线方程等价于，当时，恒有，即切线过定点。

（Ⅱ）函数的定义域为，

曲线在各定义域区间内是连续不断的曲线。

时，，，

所以在区间内有零点。

在区间内，，，单调递减。

，

若且，则，

所以在区间内有零点

由单调递减知，在区间内有唯一零点

因为，

所以，，

由单调递减知，，即．