Question

已知（a＞0且a≠1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）若a＞1，用单调性定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减；
（3）是否存在实数a，使得f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1-log_an，1-log_am]，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，则说明理由．

Answer 1

解：（1）由得：x＜-1或x＞1．
所以，函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
又∵
∴f（x）为奇函数．
（2）任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0．
因为
所以，又因为a＞1，所以，
故f（x₁）＞f（x₂），所以，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减．
（3）假设存在实数a满足题目条件．
由题意得：m＞0，n＞0，又∵[m，n]⊆（-∞，-1）∪（1，+∞），
∴1＜m＜n
又∵1-log_an＞1-log_am，
∴log_am＞log_an，解得a＞1．
由（2）得：函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减．
所以，函数f（x）在区间[m，n]上单调递减．
故，，所以，
所以，∴m，n是方程x²+（1-a）x+a=0的两个不同的实根．
故，方程x²+（1-a）x+a=0在区间（1，+∞）上有两个不同的实根．
则，解得：．又∵a＞1，
所以，
所以，满足题目条件的实数a存在，实数a的取值范围是．
分析：（1）根据对数函数的真数大于0建立不等式，解之即可求出函数的定义域，判定是否对称，然后根据函数奇偶性的定义进行判定即可；
（2）任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，然后比较真数的大小，从而得到f（x₁）与f（x₂）的大小，最后根据单调性的定义进行判定即可；
（3）假设存在实数a满足题目条件，然后根据函数在区间[m，n]上单调性建立等式关系，然后转化成方程x²+（1-a）x+a=0在区间（1，+∞）上有两个不同的实根，从而可求出a的取值范围．
点评：本题主要考查了函数奇偶性的判定，以及单调性的判定和奇偶性与单调性的综合应用，同时考查了转化的思想，属于中档题．