Question

已知tan（α+β）=

1

5

，tan（β+

π

4

）=

1

4

（1）求tanα的值；
（2）求sin²α+sinαcosα+cos²α的值．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用,两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用两角和与差的正切函数公式化简tan[（α+β）-（β+

π

4

）]，将已知等式代入计算求出tanα的值即可；
（2）原式利用同角三角函数间的基本关系化简，把tanα的值代入计算即可求出值．

解答： 解：（1）∵tan（α+β）=

1

5

，tan（β+

π

4

）=

1

4

，
∴tan[（α+β）-（β+

π

4

）]=

tan(α+β)-tan(β+ π 4 )

1+tan(α+β)tan(β+ π 4 )

=

1 5 - 1 4

1+ 1 20

=-

1

21

，即tan（α-

π

4

）=

tanα-1

1+tanα

=-

1

21

，
整理得：21tanα-21=-1-tanα，即22tanα=20，
解得：tanα=

10

11

；
（2）原式=

sin2α+sinαcosα+cos2α

sin2α+cos2α

=

tan2α+tanα+1

tan2α+1

=

100 121 + 10 11 +1

100 121 +1

=

100+110+121

100+121

=

331

221

．

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键．