Question

（1）阅读程序框图，若输入x=1，输出y值为66，求输入的n值；
（2）令输入n=20，程序框图表示输入x，求函数y=f（x）的值的一个算法，请写出y=f（x）的解析式；
（3）在（2）的条件下，若f（x）=a₂₀（x-1）²⁰+a₁₉（x-1）¹⁹+…+a₁（x-1）+a₀，求a₃．

Answer 1

解：（1）：由已知1+2+3+…+（n+1）=66，得n²+3n-130=0
从而解得n=10（n=-13舍）．
（2）：由程序框图可得：f（x）=（…（（x+2）x+3）x+…）x+21
=x²⁰+2x¹⁹+3x¹⁸+…+20x+21．
（3）：因为f（x）=[（x-1）+1]²⁰+2[（x-1）+1]¹⁹+…+20[（x-1）+1]+21．
所以：a₃=C₂₀³+2C₁₉³+3C₁₈³+…+18C₃³
=（C₂₀³+C₁₉³+C₁₈³+…+C₃³）+（C₁₉³+C₁₈³+…+C₃³）+…+（C₄³+C₃³）+C₃³
=C₂₁⁴+C₂₀⁴+C₁₉⁴+…+C₅⁴+C₄⁴
=C₂₂⁵
=26334．
分析：（1）因为程序框图显示的是求满足要求的输入数据的和x=1，可以得到1+2+3+…+（n+1）=66，，再解方程求出n的值即可；
（2）直接由输入n=20，知道判断条件不变，然后根据程序框图即可求出y=f（x）的解析式；
（3）把（2）中求出的结论整理一下，与题中所给条件相结合可得所求为（x-1）³的系数，再结合二项式定理的有关结论即可解题．
点评：本题主要考查程序框图以及二项式定理的应用．在解决本题第三问的过程中反复运用了二项式定理中“C_n^m+C_n-1^m+…+C_m^m=C_n+1^m+1“这一结论，在记结论时注意它的上下标之间的关系，避免出错．