Question

13．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+cosx，x∈R．
（1）证明：f（x）的最小正周期为2π；
（2）若关于x的方程f（x）-a=0在区间[$\frac{π}{6}$，π]上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先说明2π是f（x）的一个周期，再用反证法说法，不存在比2π小的f（x）的周期，可得结论；
（2）若关于x的方程f（x）-a=0在区间[$\frac{π}{6}$，π]上有两个不同的实数解，则函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+cosx与y=a的图象在在区间[$\frac{π}{6}$，π]上有两个交点，进而可得答案．

解答 证明：（1）∵f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+cosx，
∴f（x+2π）=$\frac{1}{2}$sin2（x+2π）+cos（x+2π）=$\frac{1}{2}$sin2x+cosx=f（x），
即2π是f（x）的一个周期，
假设f（x）的最小正周期不是2π，
则存在T∈（0，2π）使f（x+T）=f（x）恒成立，
即$\frac{1}{2}$sin2（x+T）+cos（x+T）=$\frac{1}{2}$sin2x+cosx恒成立，
令x=0，则$\frac{1}{2}$sin2T+cosT=1恒成立，不存在满足条件的T值，
故假设不成立，
故f（x）的最小正周期为2π；
（2）若关于x的方程f（x）-a=0在区间[$\frac{π}{6}$，π]上有两个不同的实数解，
则函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+cosx与y=a的图象在在区间[$\frac{π}{6}$，π]上有两个交点，
由f′（x）=cos2x-sinx=-2sin²x-sinx+1，
当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]时，sinx$≥\frac{1}{2}$，f′（x）≤0，函数f（x）为减函数，
当x∈[$\frac{5π}{6}$，π]时，sinx$≤\frac{1}{2}$，f′（x）≥0，函数f（x）为增函数，
又∵f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，f（$\frac{5π}{6}$）=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，f（π）=-1，
故a∈（-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，-1]

点评 本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，方程根与函数零点的关系，难度中档．