Question

已知函数f(x)=

x+1-a

a-x

(x≠a)
（1）当f（x）的定义域为[a+

1

2

，a+1]时，求f（x）的值域；
（2）试问对定义域内的任意x，f（2a-x）+f（x）的值是否为一个定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由；
（3）设函数g（x）=x²+|（x-a）f（x）|，若

1

2

≤a≤

3

2

，求g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）先将函数进行常数分离，然后根据定义域求出a-x的取值范围，再根据反比例函数求出

1

a-x

的取值范围即可求出所求．
（2）f（2a-x）+f（x）=

a-x+1

x-a

+

x+1-a

a-x

=

2(a-x)

x-a

=-2，对定义域内的所有x都成立．
（3）由a=1，得g（x）=x²+|x|（x≠-1）当x≥0时，g(x)=(x+

1

2

)2-

1

4

求得最小值；当x≤0时，g(x)=(x-

1

2

)2-

1

4

求得最小值，最后从中取最小的，作为函数的最小值．

解答：解：（1）函数f(x)=

x+1-a

a-x

(x≠a)=-1+

1

a-x

．
当 a+

1

2

≤x≤a+1时，-a-1≤-x≤-a-

1

2

，-1≤a-x≤-

1

2

，-2≤

1

a-x

≤-1，
于是-3≤-1+

1

a-x

≤-2，
即f（x）值域为[-3，-2]．
（2）∵f（2a-x）+f（x）=

a-x+1

x-a

+

x+1-a

a-x

=

2(a-x)

x-a

=-2，
对定义域内的所有x都成立，
∴对定义域内的任意x，f（2a-x）+f（x）的值是定值-2．
（3）解：当a=1时，g（x）=x²+|x|（x≠-1）
（ⅰ）当x≥0时，g(x)=(x+

1

2

)2-

1

4

则函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，
g（x）_min=g（0）=0
（ⅱ）当x≤0时，g(x)=(x-

1

2

)2-

1

4

则函数g（x）在（-∞，0]且x≠-1时单调递减，
g（x）_min=g（0）=0
综合得：当x≠-1时，g（x）的最小值是0．

点评：本题主要考查恒成立问题、分类常数法转化函数及分段函数求最值问题和分式函数的值域，解题时要认真审题，仔细解答．