Question

7．已知等比数列{a_n}的公比q＞1，前n项和为S_n，并且满足a₂+a₃+a₄=28，a₃+2是a₂和a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_nlog${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n＞254-n•2ⁿ⁺¹成立的正整数n的最小值．

Answer 1

分析 （1）依题意有2（a₃+2）=a₂+a₄，又a₂+a₃+a₄=28，故a₃=8．a₂+a₄=20．由此能够推导出a_n=2ⁿ．
（2）b_n=a_nlog${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n=2ⁿ•$lo{g}_{\frac{1}{2}}$2ⁿ=-n•2ⁿ，由错位相减法可得S_n，再由S_n＞254-n•2ⁿ⁺¹，解不等式即可得到n的最小值．

解答 解：（1）依题意有2（a₃+2）=a₂+a₄，
又a₂+a₃+a₄=28，解得₃=8．
所以a₂+a₄=20．
于是有$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{3}=20}\\{{a}_{1}{q}^{2}=8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{q=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=32}\\{q=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
又{a_n}是递增的，故a₁=2，q=2．
所以a_n=2ⁿ．
（2）b_n=a_nlog${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n=2ⁿ•$lo{g}_{\frac{1}{2}}$2ⁿ=-n•2ⁿ，
-S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
-2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
相减可得S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
由S_n＞254-n•2ⁿ⁺¹，可得2ⁿ⁺¹＞256=2⁸，
即为n+1＞8，即n＞7，
则n的最小值为8．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活地运用公式解答．