Question

已知f（x）=x²+bx+2，x∈R．
（1）若函数F（x）=f[f（x）]与f（x）在x∈R时有相同的值域，求b的取值范围；
（2）若方程f（x）+|x²-1|=2在（0，2）上有两个不同的根x₁、x₂，求b的取值范围，并证明

1

x1

+

1

x2

＜4.

Answer 1

分析：（1）利用二次函数的对称轴和值域的关系寻找解决问题的突破口，关键要理解f[f（x）]与f（x）在x∈R时有相同的值域等价于
f（x）的最小值要小于二次函数顶点的横坐标；
（2）将绝对值符号去掉进行讨论是解决本题的关键，利用方程根与系数的关系，进行放缩求解转化是证明本题的关键．

解答：（1）解：当x∈R时，函数f（x）=x²+bx+2的图象是开口向上，
且对称轴为x=-

b

2

的抛物线，f（x）的值域为[

8-b2

4

，+∞)，
所以F（x）=f[f（x）]的值域也为[

8-b2

4

，+∞)的充要条件
是

8-b2

4

≤-

b

2

，  即b2-2b-8≥0，  ∴b≤-2，或b≥4，
即b的取值范围为（-∞，-2]∪[4，+∞）
（2）证明：f（x）+|x²-1|=2，即x²+bx+|x²-1|=0，由分析知b≠0
不妨设0＜x1＜x2＜2，令H(x)=x2+bx+|x2-1|=

bx+1|x|≤1 2x2+bx-1|x|＞1

因为H（x）在（0，1]上是单调函数，所以H（x）=0在（0，1]上至多有一个解．
若x₁，x₂∈（1，2），即x₁、x₂就是2x²+bx-1=0的解，x1x2=-

1

2

＜0，与题设矛盾．
因此，x₁∈（0，1]，x₂∈（1，2）．由H(x1)=0得b=-

1

x1

，所以b≤-1；
由H(x2)=0得b=

1

x2

-2x2，所以-

7

2

＜b＜-1.
故当-

7

2

＜b＜-1时，方程f（x）+|x²-1|=2在（0，2）上有两个解．
由b=-

1

x1

和b=

1

x2

-2x2消去b，得

1

x1

+

1

x2

=2x2.
由x2∈(1，2)，得

1

x1

+

1

x2

＜4.

点评：本题考查复合函数的知识，考查二次函数的值域意识，考查方程的根与方程系数之间的关系，求取值范围关键要确定出字母满足的不等式．