Question

已知a∈{x|（

1

3

）^x-x=0}，则f（x）=log_a（x²-2x-3）的减区间为

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：本题可以先将已知集合时行化简，得到参数a的取值范围，再求出函数f（x）的定义域，根据复合函数单调性的判断规律，求出f（x）的单调区间，得到本题结论．

解答： 解：∵（

1

3

）^x-x=0
∴（

1

3

）^x=x，
当x＞1时，(

1

3

)x＜(

1

3

)1＜1，方程（

1

3

）^x=x不成立，
当x=1时，方程（

1

3

）^x=x显然不成立，
当x＜0时，方程（

1

3

）^x＞0，方程（

1

3

）^x=x不成立，
当x=0时，方程（

1

3

）^x=x显然不成立，
∴0＜x＜1．
∵函数f（x）=log_a（x²-2x-3）中，x²-2x-3＞0，
∴x＜-1或x＞3．
当x∈（-∞，-1）时，y=x²-2x-3单调递减，f（x）=log_a（x²-2x-3）单调递增；
当x∈（3，+∞）时，y=x²-2x-3单调递增，f（x）=log_a（x²-2x-3）单调递减．
∴f（x）=log_a（x²-2x-3）的减区间为（3，+∞）．
故答案为：（3，+∞）．

点评：本题考查了指数方程、函数的定义域、函数的单调性，本题难度不大，属于基础题．