Question

已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。           

Answer 1

（Ⅰ）    （Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）由题意，c＝1,可设椭圆方程为。           

因为A在椭圆上，所以，解得＝3，＝（舍去）。

所以椭圆方程为  ．    　　　　　　　　　　　　　　　　．．．．．．4分

（Ⅱ）设直线ＡＥ方程：得，代入得           

设Ｅ（，），Ｆ（，）．因为点Ａ（1，）在椭圆上，所以

，           

。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得

，           

。

所以直线EF的斜率。

即直线EF的斜率为定值，其值为。