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【题目】已知函数

1求曲线处的切线方程

2证明

【答案】12详见解析

【解析】

试题分析:(1利用导数几何意义得曲线处的切线斜率等于该点处导数值k=f′1=ef1=2利用点斜式得切线方程2先调整所证不等式等价于再利用导数分别研究左右函数最值设函数gx=xln xgx0+∞上的最小值为g=-设函数hx=xe-x-则hx0+∞上的最大值为h1=-但两个函数取最值时的自变量不同因此等于号取不到从而得证

试题解析:(1函数fx的定义域为0+∞),

由题意可得f1=2f′1=e故曲线处的切线方程

2证明1fx=exln x+ex-1

从而等价于

设函数gx=xln x

则g′x=1+ln x

所以当xg′x<0

当xg′x>0

故gx上单调递减上单调递增从而gx0+∞上的最小值为

g=-

设函数hx=xe-x-则h′x=e-x1-x).

所以当x01h′x>0

当x1+∞h′x<0

故hx01上单调递增1+∞上单调递减从而hx0+∞上的最大值为

h1=-

因为gminx=g=h1=hmaxx),

所以当x>0时gx>hx),即fx>1

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x

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1

2

3

y

2

m

2

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1

2

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