Question

15．对于任意的n∈N^*，记集合E_n={1，2，3，…，n}，P_n=$\left\{{x\left|{x=\frac{a}{{\sqrt{b}}}，a∈{E_n}，b∈{E_n}}\right.}\right\}$．若集合A满足下列条件：①A⊆P_n；②?x₁，x₂∈A，且x₁≠x₂，不存在k∈N^*，使x₁+x₂=k²，则称A具有性质Ω．
如当n=2时，E₂={1，2}，P₂=$\{1，2，\frac{1}{{\sqrt{2}}}，\frac{2}{{\sqrt{2}}}\}$．?x₁，x₂∈P₂，且x₁≠x₂，不存在k∈N^*，使x₁+x₂=k²，所以P₂具有性质Ω．
（Ⅰ）写出集合P₃，P₅中的元素个数，并判断P₃是否具有性质Ω．
（Ⅱ）证明：不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E₁₅=A∪B．
（Ⅲ）若存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使P_n=A∪B，求n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知条件能求出集合P₃，P₅中的元素个数，并判断出P₃不具有性质Ω．
（Ⅱ）假设存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E₁₅=A∪B．其中E₁₅={1，2，3，…，15}，从而1∈A∪B，由此推导出与A具有性质Ω矛盾．从而假设不成立，即不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E₁₅=A∪B．
（Ⅲ）当n≥15时，不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使P_n=A∪B．n=14，根据b=1、b=4、b=9分类讨论，能求出n的最大值为14．

解答 解：（Ⅰ）∵对于任意的n∈N^*，记集合E_n={1，2，3，…，n}，P_n=$\left\{{x\left|{x=\frac{a}{{\sqrt{b}}}，a∈{E_n}，b∈{E_n}}\right.}\right\}$．
∴集合P₃，P₅中的元素个数分别为9，23，
∵集合A满足下列条件：①A⊆P_n；②?x₁，x₂∈A，且x₁≠x₂，不存在k∈N^*，使x₁+x₂=k²，则称A具有性质Ω，
∴P₃不具有性质Ω．…..（6分）
证明：（Ⅱ）假设存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E₁₅=A∪B．其中E₁₅={1，2，3，…，15}．
因为1∈E₁₅，所以1∈A∪B，
不妨设1∈A．因为1+3=2²，所以3∉A，3∈B．
同理6∈A，10∈B，15∈A．因为1+15=4²，这与A具有性质Ω矛盾．
所以假设不成立，即不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E₁₅=A∪B．…..（10分）
解：（Ⅲ）因为当n≥15时，E₁₅⊆P_n，由（Ⅱ）知，不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使P_n=A∪B．
若n=14，当b=1时，$\left\{{x\left|{x=\frac{a}{{\sqrt{1}}}，a∈{E_{14}}}\right.}\right\}={E_{14}}$，
取A₁={1，2，4，6，9，11，13}，B₁={3，5，7，8，10，12，14}，
则A₁，B₁具有性质Ω，且A₁∩B₁=∅，使E₁₄=A₁∪B₁．
当b=4时，集合$\left\{{x\left|{x=\frac{a}{{\sqrt{4}}}，a∈{E_{14}}}\right.}\right\}$中除整数外，其余的数组成集合为$\{\frac{1}{2}，\;\;\frac{3}{2}，\;\;\;\frac{5}{2}，\;\;…，\;\;\frac{13}{2}\;\}$，
令${A_2}=\{\frac{1}{2}，\;\;\;\frac{5}{2}，\;\;\;\frac{9}{2}\;，\;\;\frac{11}{2}\;\}$，${B_2}=\{\frac{3}{2}，\;\;\;\frac{7}{2}，\;\;\;\frac{13}{2}\;\}$，
则A₂，B₂具有性质Ω，且A₂∩B₂=∅，使$\{\frac{1}{2}，\;\;\frac{3}{2}，\;\;\;\frac{5}{2}，\;\;…，\;\;\frac{13}{2}\;\}={A_2}∪{B_2}$．
当b=9时，集$\left\{{x\left|{x=\frac{a}{{\sqrt{9}}}，a∈{E_{14}}}\right.}\right\}$中除整数外，其余的数组成集合$\{\frac{1}{3}，\;\;\frac{2}{3}，\;\;\;\frac{4}{3}，\;\frac{5}{3}，\;\frac{7}{3}，\;\;\frac{8}{3}，\;\;\;\frac{10}{3}，\;\frac{11}{3}，\;\frac{13}{3}，\;\;\frac{14}{3}\;\}$，
令${A_3}=\{\frac{1}{3}，\;\;\;\frac{4}{3}，\;\frac{5}{3}，\;\;\frac{10}{3}，\;\;\frac{13}{3}\;\}$，${B_3}=\{\;\frac{2}{3}，\;\;\frac{7}{3}，\;\frac{8}{3}，\;\;\frac{11}{3}，\;\;\frac{14}{3}\;\}$．
则A₃，B₃具有性质Ω，且A₃∩B₃=∅，使$\{\frac{1}{3}，\;\;\frac{2}{3}，\;\;\;\frac{4}{3}，\;\frac{5}{3}，\;\frac{7}{3}，\;\;\frac{8}{3}，\;\;\;\frac{10}{3}，\;\frac{11}{3}，\;\frac{13}{3}，\;\;\frac{14}{3}\;\}={A_3}∪{B_3}$．
集合$C=\left\{{x\left|{x=\frac{a}{{\sqrt{b}}}，a∈{E_{14}}，b∈{E_{14}}，b≠1，4，9}\right.}\right\}$中的数均为无理数，
它与P₁₄中的任何其他数之和都不是整数，
因此，令A=A₁∪A₂∪A₃∪C，B=B₁∪B₂∪B₃，则A∩B=∅，且P₁₄=A∪B．
综上，所求n的最大值为14．…..（14分）

点评 本题考查集合性质的应用，考查实数值最大值的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求高，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．