Question

对于数列a_n，（1）已知a_n是一个公差不为零的等差数列，a₅=6．
①当a₃=2时，若自然数n₁，n₂，…，n_t，…满足5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…，且a₃，a₅，a_n1，a_n2，…，a_nt，…是等比数列，试用t表示n_t；
②若存在自然数n₁，n₂，…，n_t，…满足5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…，且a₃，a₅，a_n1，a_n2，…，a_nt，…构成一个等比数列．求证：当a₃是整数时，a₃必为12的正约数．
（2）若数列a_n满足a_n+1a_n+3a_n+1+a_n+4=0，且a₂₀₀₉小于数列a_n中的其他任何一项，求a₁的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）①在等差数列{a_n}中，由a₅=6，a₃=2，求出公差d，然后求出通项a_n，进而求出a_nt，由a₃，a₅a_n1，a_n2，…，a_nt…是等比数列，且可求出公比q，再求出a_nt，两次求出的a_nt相等，找出n与t的关系；
  ②由a₃，a₅a_n1，a_n2，…，a_nt…是等比数列，由等比中项可得a₃a_n1=a₅²，即．，又由已知已知{a_n}是等差数列，可求==，整理可得，由n为正整数可知a₃为12的正约数
（2）由a_n+1a_n+3a_n+1+a_n+4=0，得a_n+1a_n+2a_n+1+2a_n+4=a_n-a_n+1，
即（a_n+1+2）（a_n+2）=（a_n+2）-（a_n+1+2）．a₂₀₀₉小于数列a_n中的其他任何一项，可知a_n不是常数列，构造新的等差数列，并借助该数列的单调性与反证法求出a₁的范围．
解答：解：（1）①因为a₃=2，a₅=6，所以，公差d=，
从而a_n=a₅+（n-5）d=2n-4（2分）
又a₃，a₅，a_n1，a_n2，a_nt，是等比数列，所以公比q=，所以
a_nt=a₅•3^t=2•3^t+1，t∈N^*．
又a_nt=2n_t-4，所以2n_t-4=2•3^t+1，所以
n_t=3^t+1+2，t∈N^*．（4分）
②因为n₁＞5时，a₃，a₅，a_n1成等比数列，所以a₃a_n1=a₅²，即．（6分）
所以当n≥3时，
，
所以，
即，
所以．
，解得．
因为n₁是整数，且n₁＞5，所以是正整数，从而整数a₃必为12的正约数．（8分）
（2）由a_n+1a_n+3a_n+1+a_n+4=0，得a_n+1a_n+2a_n+1+2a_n+4=a_n-a_n+1，
即（a_n+1+2）（a_n+2）=（a_n+2）-（a_n+1+2）．（*）（10分）
由（*）知：若存在a_k=-2，则a_k+1=-2；若存在a_k+1=-2，则a_k=-2，所以a_n是常数列，与“a₂₀₀₉小于数列a_n中的其他任何一项”矛盾，因此（a_n+1+2）（a_n+2）≠0．
由（*）式知，从而数列是首项为，公差为1的等差数列，即．（12分）
方法一由于数列是递增数列，且a₂₀₀₉小于数列{a_n}中的其他任何一项，即a₂₀₀₉+2小于数列{a_n+2}中的其他任何一项，所以a₂₀₀₉+2＜0，
且a₂₀₁₀+2＞0，这是因为若a₂₀₀₉+2＞0，则由，
得a₂₀₀₉+2＞a₂₀₁₀+2＞0，即a₂₀₀₉＞a₂₀₁₀，与
“a₂₀₀₉小于数列a_n中的其他任何一项”矛盾：，与“a₂₀₀₉小于数列a_n中的其他任何一项”矛盾：因此，，
即，
即，
即-1
综上，a₁的取值范围是
方法二
当n＜1-时，a_n+2单调递增，且a_n+2＜0；
当n＞1-时，2+a_n单调递减，且a_n+2＞0．
由于a₂₀₀₉小于数列{a_n}中的其他任何一项，即a₂₀₀₉+2小于数列{a_n+2}中的其他任何一项，
所以a₂₀₀₉+2＜0，且a₂₀₁₀+2＞0，
，
即-2009＜，
即-；
解得-．
综上，a₁的取值范围是．（16分）
点评：本题是等差数列与等比数列的综合应用，解答中要注意数列递推公式与数列单调性的应用，属于较难试题