【题目】已知数列满足: , , .
(1)证明: ;
(2)证明: ;
(3)证明: .
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)先用数学归纳法证明,再设, ,求出的单调性,即可得证;(2)要证,只需证,令, ,求出的单调性,推出,再令, ,求出的单调性,推出,即可得证;(3)由(2)可得,由迭代可得,再根据,推出 ,然后由,推出,即可得证.
试题解析:(1)先用数学归纳法证明.
①当时,∵,∴;
②假设当时, ,则当时, .
由①②可知.
再证.
,
令, ,则,
所以在上单调递减,所以,
所以,即.
(2)要证,只需证,
只需证其中,
先证,
令, ,只需证.
因为,
所以在上单调递减,所以.
再证,
令, ,只需证,
,
令, ,则,
所以在上单调递增,所以,
从而,所以在上单调递增,所以,
综上可得.
(3)由(2)知,一方面, ,由迭代可得,
因为,所以,所以
;
另一方面,即,
由迭代可得.
因为,所以 ,所以
;
综上, .
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【题目】已知,.
(I)若,求函数在点处的切线方程;
(II)若函数在上是增函数,求实数的取值范围;
(III)令,(是自然对数的底数),求当实数等于多少时,可以使函数取得最小值为3.
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【题目】已知是由正整数组成的无穷数列,该数列前项的最大值记为,第项之后各项, , 的最小值记为, .
(I)若为, , , , , , , , ,是一个周期为的数列(即对任意, ),写出, , , 的值.
(II)设是正整数,证明: 的充分必要条件为是公比为的等比数列.
(III)证明:若, ,则的项只能是或者,且有无穷多项为.
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【题目】如图所示,正方体的棱长为1,线段上有两个动点,则下列结论中正确结论的序号是__________.
①;
②直线与平面所成角的正弦值为定值;
③当为定值,则三棱锥的体积为定值;
④异面直线所成的角的余弦值为定值.
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【题目】(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,E、F分别为A1C1和BC的中点.
(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;
(2)求证:C1F//平面ABE.
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【题目】某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查,从8~10岁,11~12岁,13~14岁,15~16岁四个年龄段回收的问卷依次为:120份,180份,240份,x份.因调查需要,从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本,其中在11~12岁学生问卷中抽取60份,则在15~16岁学生中抽取的问卷份数为( )
A.60 B.80 C.120 D.180
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