Question

【题目】给出下列四个命题：

①在中，若，则；

②已知点，则函数的图象上存在一点，使得；

③函数是周期函数，且周期与有关，与无关；

④设方程的解是，方程的解是，则.

其中真命题的序号是______.（把你认为是真命题的序号都填上）

Answer 1

【答案】①③

【解析】

①利用三角形的内角和定理以及正弦函数的单调性进行判断；

②根据余弦函数的有界性可进行判断；

③利用周期函数的定义，结合余弦函数的周期性进行判断；

④根据互为反函数图象的对称性进行判断.

①在中，若，则，则，由于正弦函数在区间上为增函数，所以，故命题①正确；

②已知点，则函数，所以该函数图象上不存在一点，使得，故命题②错误；

③函数的是周期函数，

当时，，该函数的周期为.

当时，，该函数的周期为.

所以，函数的周期与有关，与无关，命题③正确；

④设方程的解是，方程的解是，

由，可得，由，可得，

则可视为函数与直线交点的横坐标，

可视为函数与直线交点的横坐标，如下图所示：

联立，得，可得点，

由于函数的图象与函数的图象关于直线对称，

则直线与函数和函数图象的两个交点关于点对称，

所以，命题④错误.

故答案为：①③.