Question

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°
（2）sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°
（3）sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°
（4）sin²（-18°）+cos²48°-sin²（-18°）cos48°
（5）sin²（-25°）+cos²55°-sin²（-25°）cos55°
（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）选择（2），由sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°=1-sin30°=，可得这个常数的值．
（Ⅱ）推广，得到三角恒等式sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=．证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果．
证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为 +-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα），即 1-+cos2α+sin2α
-sin2α-，化简可得结果．
解答：解：选择（2），计算如下：
sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°=1-sin30°=，故 这个常数为．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=．
证明：（方法一）sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=sin²α+-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=sin²α+cos²α+sin²α+sinαcosα-sinαcosα-sin²α=sin²α+cos²α=．
（方法二）sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=+-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=1-+（cos60°cos2α+sin60°sin2α）-sin2α-sin²α
=1-+cos2α+sin2α-sin2α-=1--+=．
点评：本题主要考查两角差的余弦公式，二倍角公式及半角公式的应用，考查归纳推理以及计算能力，属于中档题．