Question

（2013•泸州一模）定义在R上的奇函数f（x）满足f（1-x）=f（x）且x∈[0，l]时，f（x）=

2x

4x+1

．
（Ⅰ）求函数f（x）在[-l，l]上的解析式；
（II）当λ为何值时，关于x的方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解？

Answer 1

分析：（1）当-1＜x＜0时，0＜-x＜1，给出f（-x）的解析式后，根据奇函数的性质，可得函数f（x）在（-1，0）上的解析式，结合奇函数性质及f（1-x）=f（x），进而得到函数f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）根据条件把问题转化为求函数f（x）在[-2，2]上的值域问题即可．

解答：解：（1）当-1＜x＜0时，0＜-x＜1，
∵x∈（0，1）时，f（x）=

2x

4x+1

．
∴f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

又f（x）为奇函数，
∴当-1＜x＜0时，f（x）=-f（-x）=-

2x

4x+1

当x=0时，由f（-0）=-f（0）可得f（0）=0
又∵f（1-x）=f（x），
故f（1）=f（0）=0
f（-1）=-f（1）=0
综上，f（x）=

2x 4x+1 ，(0＜x＜1) 0，(x∈{-1，0，1}) - 2x 4x+1 ，(-1＜x＜0)

（2）∵f（1-x）=f（x），f（-x）=-f（x），
∴f（1+x）=f（-x）=-f（x）
∴f（2+x）=f[1+（1+x）]=-f（1+x）=f（x），
∴f（x）周期为2的周期函数，
∵方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解的λ的范围
即为求函数f（x）在[-2，2]上的值域 
即为求函数f（x）在[-1，1]上的值域
当x∈（0，1）时f（x）=

2x

4x+1

，
故f′（x）=

(1-4x)•2x

(4x+1)2

ln2＜0
即f（x）在（0，1）上为减函数，
∴x∈（0，1）时，

2

5

=f（2）＜f（x）＜f（0）＜

1

2

，
∴当x∈（0，1）时，f（x）∈（

1

2

，

2

5

）
当x∈（-1，0）时，f（x）∈（-

2

5

，-

1

2

）  
当x∈{-1，0，1}时，f（x）=0               
∴f（x）的值域为（-

2

5

，-

1

2

）∪{0}∪（

1

2

，

2

5

）   
∴λ（-

2

5

，-

1

2

）∪{0}∪（

1

2

，

2

5

）时方程方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解

点评：本题主要考查如何利用求对称区间上的解析式，特别注意端点问题，还考查了用定义证明单调性求分段函数值域问题．