Question

（2012•江西模拟）已知函数f(x)=

3

2

sin2x-

1

2

(cos2x-sin2x)-1，x∈R，将函数f（x）向左平移

π

6

个单位后得函数g（x），设△ABC三个角A、B、C的对边分别为a、b、c．
（Ⅰ）若c=

7

，f（C）=0，sinB=3sinA，求a、b的值；
（Ⅱ）若g（B）=0且

m

=(cosA，cosB)，

n

=(1，sinA-cosAtanB)，求

m

•

n

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）为sin(2x-

π

6

)-1，由f（C）=0求得sin(2C-

π

6

)=1，C=

π

3

，由余弦定理知：a2+b2-2abcos

π

3

=7，因sinB=3sinA，可得b=3a，由此求得a、b的值．
（Ⅱ）由题意可得g(x)=sin(2x+

π

6

)-1，由g（B）=0求得sin(2B+

π

6

)=1，故2B+

π

6

=

π

2

，化简

m

•

n

等于sin（A+

π

6

），根据A+

π

6

的范围求得

m

•

n

的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

2

sin2x-

1

2

(cos2x-sin2x)-1=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin(2x-

π

6

)-1．…（1分）
f(C)=sin(2C-

π

6

)-1=0，所以sin(2C-

π

6

)=1．
因为2C-

π

6

∈(-

π

6

，

11π

6

)，
所以2C-

π

6

=

π

2

所以C=

π

3

．…（3分）
由余弦定理知：a2+b2-2abcos

π

3

=7，因sinB=3sinA，
所以由正弦定理知：b=3a．…（5分）
解得：a=1，b=3…（6分）
（Ⅱ）由题意可得g(x)=sin(2x+

π

6

)-1，所以g(B)=sin(2B+

π

6

)-1=0，所以sin(2B+

π

6

)=1．
因为2B+

π

6

∈(

π

6

，

13π

6

)，所以2B+

π

6

=

π

2

，即B=

π

6

又

m

=(cosA，

3

2

)，

n

=(1，sinA-

3

3

cosA)，
于是

m

•

n

=cosA+

3

2

(sinA-

3

3

cosA)=

1

2

cosA+

3

2

sinA=sin(A+

π

6

)…（8分）
∵B=

π

6

∴A∈(0，

5

6

π)，得 A+

π

6

∈(

π

6

，π)…（10分）
∴sin(A+

π

6

)∈(0，1]，即

m

•

n

∈(0，1]．…（12分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积公式的应用，解三角形，属于中档题．