Question

已知函数f（x）=x²（x-a），a∈R．
（1）若x=6为函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，4）处的切线方程；
（3）设a≥3时，求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导数，通过x=6为函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）若a=1，求出导函数值，直接求出曲线y=f（x）在点（2，4）处的切线方程；
（3）设a≥3时，通过函数的导数判断函数的单调性，求出函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．

解答：解：（1）因为函数f（x）=x²（x-a），所以f′（x）=3x²-2ax，
因为x=6，为函数f（x）的一个极值点，所以f′（6=0），
即3×6²-2a×6=0，解得a=9．
（2）当a=1时，f′（x）=3x²-2x，f′（2）=3×2²-2×2=8，
所求的切线方程为：y-4=8（x-2），即8x-y-12=0．
（3）当a≥3时，由f′（x）=3x²-2ax=0，解得x₁=0，x₂=

2a

3

，由f′（x）＜0，得0＜x＜

2a

3

，
因为a≥3，所以x₂=

2a

3

≥2，
所以函数f（x）在区间[1，2]上是减函数，
所以函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为f（2）=8-4a．

点评：本题是中档题，考查函数与导函数的关系，函数的切线方程的求法，最值的求法，考查计算能力．