Question

已知抛物线C：y²＝4x，F为其焦点，

(1)若过焦点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A、B两点，求弦AB的长；

(2)若过点M(2，1)的一条直线交抛物线C于P、Q两点，且PQ被M平分，求这条直线的方程；

(3)设点R、S是抛物线C上原点O以外的两个动点，且OR⊥OS，若作ON⊥RS，垂足为N，求点N的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵点F(1，0)，…………1分 　　∴直线AB的方程为y＝x－1，…………2分 　　将其代入得x2－6x＋1＝0…………3分 　　设A(x1，y1)，B(x2，y2) 　　∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝6＋2＝8…………4分 　　(2)显然直线PQ的斜率存在，设其为k，则PQ的方程为y－1＝k(x－2)，将其代入得k2x2－(4k2－2k＋4)x＋(1－2k)2＝0…………5分 　　则∵，…………6分 　　∴k＝2，而此时方程有根．∴直线方程为y－1＝2(x－2)即2x－y－3＝0……7分 　　(3)解：(1)设R(x1，y1)，S(x2，y2)，则y12＝2px1，y22＝2px2， 　　∴y12y22＝4p2x1x2， 　　∵OR^ OS，∴x1x2＋y1y2＝0，…………8分 　　由此即可解得：y1y2＝─16 　　∵直线AB的斜率k＝＝＝， 　　∴直线AB的方程为y─y1＝(x─)， 　　即y(y1＋y2)─y1y2＝4x，由(1)可得y＝(x─4)， 　　∴直线RS过定点M(4，0)．…………9分 　　又∵RS^ ON，知点N的轨迹是以原点和点(4，0)为直径的圆(除去原点)．立即可求出方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)…………10分