Question

定义:若数列{An}满足An+1=,则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列{an}中,a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=2x2+2x的图象上,其中n为正整数.

(1)证明:数列{2an+1}是 “平方递推数列”,且数列{lg(2an+1)}为等比数列.

(2)设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求数列{an}的通项公式及Tn关于n的表达式.

 

Answer 1

(1)见解析 (2) an=(-1). Tn=

【解析】(1)由条件得:an+1=2+2an,

∴2an+1+1=4+4an+1=(2an+1)2,

∴{2an+1}是“平方递推数列”.

∵lg(2an+1+1)=2lg(2an+1),

∴=2,∴{lg(2an+1)}为等比数列.

(2)∵lg(2a1+1)=lg5,

∴lg(2an+1)=lg5·2n-1,

∴2an+1=,∴an=(-1).

∵lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1)

==(2n-1)lg5,

∴Tn=.