Question

已知点A（2，0），B（0，6），O为坐标原点．
（1）若点C在线段OB上，且∠ACB=

3π

4

，求△ABC的面积；
（2）若原点O关于直线AB的对称点为D，延长BD到P，且|PD|=2|BD|，已知直线L：ax+10y+84-108

3

=0经过点P，求直线l的倾斜角．

Answer 1

分析：（1）依据条件求出AC的斜率，可得点C的坐标，即得边长BC，点A的横坐标就是三角形的高，代入三角形的面积公式进行计算．
（2）利用对称的特点，待定系数法求出原点O关于直线AB的对称点D的坐标，由题意可得

PD

=2

DB

，把相关向量的坐标代入，利用两个向量相等的条件求出点P的坐标，再把点P的坐标代入代入直线l的方程，求出a，即得直线l的斜率，由斜率求直线l的倾斜角．

解答：解：（1）∵点C在线段OB上，且∠ACB=

3π

4

，∴∠ACO=

π

4

，故AC的倾斜角为

3π

4

，
故AC的斜率为-1，设点C（0，b），由-1=

0-b

2-0

  得 b=2，即点C（0，2），
 BC=4，点A到BC的距离为2，故△ABC的面积为  

1

2

×4×2=4．
（2）设D（m，n），点P（c，d），AB的方程

x

2

+

y

6

=1，即  3x+y-6=0，
由

n m = -1 -3 = 1 3   3• m 2 + n 2 -6=0

  得 m=

18

5

，n=

6

5

，故D（

18

5

，

6

5

），

PD

=（

18

5

-c，

6

5

-d），

DB

=（-

18

5

，

24

5

），
由题意知，

PD

=2

DB

，
∴

18

5

-c=-

36

5

，

6

5

-d=

48

5

，解得 c=

54

5

，d=-

42

5

，
故P（

54

5

，-

42

5

），把P（

54

5

，-

42

5

）代入直线l：ax+10y+84-108

3

=0，
得 a•

54

5

+10•

-42

5

+84-108

3

=0，即得 a=10

3

．
∴直线l的斜率为

-a

10

=-

3

，故直线l的倾斜角为 120°．

点评：本题考查直线的倾斜角的定义，倾斜角与斜率的关系；点关于直线的对称点的坐标求法，两个向量相等时向量坐标间的关系．