Question

已知函数f(x)=ex-

1

2

x2-ax（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；
（Ⅱ）若函数在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）如果函数g(x)=f(x)-(a-

1

2

)x2有两个不同的极值点x₁，x₂，证明：a＞

e

2

．

Answer 1

分析：（1）根据导数的几何意义，可以求出a的值，再根据切点坐标在曲线上和切线上，即可求出b的值，从而得到答案；
（2）将函数f（x）在R上是增函数，转化为f'（x）＞0在R上恒成立，利用参变量分离转化成a＜e^x-x在R上恒成立，
利用导数求h（x）=e^x-x的最小值，即可求得实数a的取值范围；
（3）根据x₁，x₂是g（x）的两个极值点，可以得到x₁，x₂是g′（x）=0的两个根，根据关系，利用分析法，
将证明不等式转化为a=

ex

2x+1

，即求p(x)=

ex

2x+1

的最小值问题，利用导数即可证得结论．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x-

1

2

x²-ax，
∴f′（x）=e^x-x-a，
∴根据导数的几何意义可得，切线的斜率k=f'（0）=1-a，
∵切线方程为y=2x+b，则k=2，
∴1-a=2，解得a=-1，
∴f（x）=e^x-

1

2

x²+x，
∴f（0）=1，即切点（0，1），
∴1=2×0+b，解得b=1；
（Ⅱ）由题意f'（x）＞0即e^x-x-a≥0恒成立，
∴a≤e^x-x恒成立．
设h（x）=e^x-x，则h′（x）=e^x-1．
当x变化时，h′（x）、h（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
h′（x）	-	0	+
h（x）	减函数	极小值	增函数

∴h（x）_min=h（0）=1，
∴a≤1；
（Ⅲ）∵g（x）=f（x）-（a-

1

2

）x²，
∴g（x）=e^x-

1

2

x²-ax-ax²+

1

2

x²=e^x-ax²-ax，
∴g′（x）=e^x-2ax-a，
∵x₁，x₂是函数g（x）的两个不同极值点（不妨设x₁＜x₂），
∴e^x-2ax-a=0（*）有两个不同的实数根x₁，x₂
当x=-

1

2

时，方程（*）不成立
则a=

ex

2x+1

，令p(x)=

ex

2x+1

，则p′(x)=

ex(2x-1)

(2x+1)2

由p′（x）=0得：x=

1

2

当x变化时，p（x），p′（x）变化情况如下表：

x	(-∞，- 1 2 )	(- 1 2 ， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，+∞)
p（x）	-	-	0	+
p′（x）	单调递减	单调递减	极小值	单调递增

∴当x∈(-∞，-

1

2

)时，方程（*）至多有一解，不合题意；
当x∈(-

1

2

，+∞)时，方程（*）若有两个解，则a＞p(

1

2

)=

e

2

所以，a＞

e

2

．

点评：本题考查了利用导数研究在曲线某点处的切线方程，利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性．同时考查了不等式的证明，证明过程中运用了构造函数的思想，是综合性较强的一道导数应用题．属于难题．