Question

已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，试建立适当的坐标系，

（1）证明MN⊥AB；

（2）若平面PCD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD.

Answer 1

证明：建立如图坐标系，设AB=a,AD=b,PA=c,?

?

则B（a,0,0）,C(a,b,0),P(0,0,c),D(0,b,0),??

（1）∵M、N分别为AB、PC的中点，?

∴M（,0,0）,N(,,).?

∴=(0,,),=(a,0,0).?

故·=0.?

∴MN⊥AB.?

（2）∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，?

∴PD⊥CD，∠PDA为面PCD与面ABCD所成二面角的平面角.?

∴∠PDA=45°.?

∴b=c.?

∴P(0,0,b), =(0,,),=(a,b,-b),=(0,b,-b), ·=0，·=0.

∴MN⊥PC，MN⊥PD.?

∴MN⊥面PCD.